31 数学 公式&テクニック集

【公式集】§3-3. 2次方程式と解の配置

解の公式について

  • 解の公式

2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ における実数解は

$x = \Large\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$  ($b^2-4ac\geqq0$)

2次方程式の解き方

  • 因数分解を試す
  • ダメなら解の公式を使う

先ずは因数分解を試す

例 2次方程式 $x^2+3x+2=0$ を解くなら…

因数分解できないなら解の公式を使う

例 2次方程式 $x^2-4x+2=0$ を解くなら…

もしルートの中がマイナスになる($b^2-4ac\lt0$)なら、計算をミスしているか、もしくは実数解ではなく虚数解の可能性があります。
(虚数解については別の公式集にて扱います)

判別式について

  • 2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ における判別式 $D=b^2-4ac$
  • 判別式の符号(または0になるか)によって解の個数が判別できる
  • 重解:$D=0$ のとき解は1つ(2つの解が重なったと考える)

判別式$D$は、解の公式における√ の中身を意味する。

もし$a\lt0$なら上図は$x$軸に対し逆さにして考えてください。

解と係数の関係

2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ における2解が$\alpha, \beta$なら…

  • $\alpha+\beta=\Large-\frac{b}{a}$
  • $\alpha\beta=\Large\frac{c}{a}$