31 数学 公式&テクニック集

【公式集】§4-2.場合の数|順列(並べる)編

順列とは

  • 順列:いくつかのものを順に1列に並べたときの、1つ1つの並び

P(Permutation)とは

  • 異なる$n$個のものから$r$個を取り出して並べた順列の総数:${}_n \mathrm{ P }_r$(ただし$r\leqq n$)
  • ${}_n \mathrm{ P }_r=n(n-1)(n-2)…(n-r+1)$

 

  • 異なる$n$個のもの全てを1列に並べる方法の総和:${}_n \mathrm{ P }_n=n(n-1)(n-2)…3・2・1=n!$
  • $n$個(そのうち$a$個同じものがある)を1列に並べる方法の総和:$\Large\frac{n!}{a!}$

階乗(!)とは

例えば$n$の階乗…

  • $1$から$n$までの全ての自然数の積
  • $n$の階乗は!(ビックリマーク)を用いて、$n!$と表す

円順列・数珠

円順列の公式・考え方

  • 円順列:いくつかのものを円形に並べる順列
  • 円順列は回転すると同じ並びになってしまうので、どこか一つを固定して回転防止する!

 

  • 異なる$n$個で円を作る方法の総和:$(n-1)!$

数珠の公式

  • 異なる$n$個で数珠を作る方法の総和:$\Large\frac{(n-1)!}{2}$

重複順列

  • 重複順列:異なるものから重複(繰り返し)を許して並べる順列(重複の読みは「ちょうふく」でも「じゅうふく」でも可)
  • 異なる$n$種類のものから重複を許して$r$個並べる方法の総和:$n^r$

超頻出パターン5選

  • 隣り合うものがある:最初からくっつけておく
  • 隣り合わないようにする:隣り合わないものは後で並べる
  • 制限付き問題:制限の強い順に並べる
  • 端が指定される:端の人間パターンを考える(人間が多い)
  • 立方体5色の塗り分け:数珠順列の考え方